Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{a b + 3 b} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Paso 1

Factoriza $b$ de $a b + 3 b$ .

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Paso 1.1

Factoriza $b$ de $a b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b a + 3 b} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Paso 1.2

Factoriza $b$ de $3 b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b a + b \cdot 3} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Paso 1.3

Factoriza $b$ de $b a + b \cdot 3$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b (a + 3)} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Paso 2

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b (a + 3)} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Paso 2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Paso 3

Factoriza $b$ de $a b - 3 b$ .

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Paso 3.1

Factoriza $b$ de $a b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b a - 3 b}$

Paso 3.2

Factoriza $b$ de $- 3 b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b a + b \cdot - 3}$

Paso 3.3

Factoriza $b$ de $b a + b \cdot - 3$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b (a - 3)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b (a - 3)}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 5

Para escribir $\frac{3 a}{a^{2} - 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} - \frac{2}{a + 3} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 6

Para escribir $- \frac{2}{a + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9}$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} - \frac{2}{a + 3} \cdot \frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a^{2} - 9) (a + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{3 a}{a^{2} - 9}$ por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{3 a (a + 3)}{(a^{2} - 9) (a + 3)} - \frac{2}{a + 3} \cdot \frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{2}{a + 3}$ por $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9}$ .

$\frac{3 a (a + 3)}{(a^{2} - 9) (a + 3)} - \frac{2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 7.3

Reordena los factores de $(a^{2} - 9) (a + 3)$ .

$\frac{3 a (a + 3)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 9

Para escribir $\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{1}{a - 3}$

Paso 10

Para escribir $- \frac{1}{a - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ .

$\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 11

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)} - \frac{1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{1}{a - 3}$ por $\frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)} - \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a - 3) ((a + 3) (a^{2} - 9))}$

Paso 11.3

Reordena los factores de $(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)} - \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a - 3) ((a + 3) (a^{2} - 9))}$

Paso 11.4

Reordena los factores de $(a - 3) ((a + 3) (a^{2} - 9))$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)} - \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13

Reescribe $\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$ en forma factorizada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 a \cdot a + 3 a \cdot 3 - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{(3 (a \cdot a) + 3 a \cdot 3 - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{(3 a^{2} + 3 a \cdot 3 - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{(3 a^{2} + 9 a - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 a^{2} + 9 a - 2 a^{2} - 2 \cdot - 9) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$\frac{(3 a^{2} + 9 a - 2 a^{2} + 18) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.2

Resta $2 a^{2}$ de $3 a^{2}$ .

$\frac{(a^{2} + 9 a + 18) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.3

Expande $(a^{2} + 9 a + 18) (a - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{a^{2} a + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4

Simplifica cada término.

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Paso 13.4.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 13.4.1.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 13.4.1.1.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a^{2 + 1} + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{a^{3} + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $a^{2}$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4.3

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 13.4.3.1

Mueve $a$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 (a \cdot a) + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4.3.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a^{2} + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4.4

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a^{2} - 27 a + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.4.5

Multiplica $18$ por $- 3$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a^{2} - 27 a + 18 a - 54 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.5

Suma $- 3 a^{2}$ y $9 a^{2}$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 27 a + 18 a - 54 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.6

Suma $- 27 a$ y $18 a$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 + (- a - 1 \cdot 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 + (- a - 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.9

Expande $(- a - 3) (a^{2} - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a (a^{2} - 9) - 3 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a \cdot a^{2} - a \cdot - 9 - 3 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a \cdot a^{2} - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.10

Simplifica cada término.

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Paso 13.10.1

Multiplica $a$ por $a^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.10.1.1

Mueve $a^{2}$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - (a^{2} a) - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.10.1.2

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 13.10.1.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - (a^{2} a^{1}) - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.10.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{2 + 1} - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.10.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{3} - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.10.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{3} + 9 a - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.10.3

Multiplica $- 3$ por $- 9$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{3} + 9 a - 3 a^{2} + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.11

Resta $a^{3}$ de $a^{3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a - 54 + 0 + 9 a - 3 a^{2} + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.12

Suma $6 a^{2}$ y $0$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a - 54 + 9 a - 3 a^{2} + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.13

Resta $3 a^{2}$ de $6 a^{2}$ .

$\frac{3 a^{2} - 9 a - 54 + 9 a + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.14

Suma $- 9 a$ y $9 a$ .

$\frac{3 a^{2} + 0 - 54 + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.15

Suma $3 a^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 a^{2} - 54 + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.16

Suma $- 54$ y $27$ .

$\frac{3 a^{2} - 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.17

Reescribe $3 a^{2} - 27$ en forma factorizada.

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Paso 13.17.1

Factoriza $3$ de $3 a^{2} - 27$ .

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Paso 13.17.1.1

Factoriza $3$ de $3 a^{2}$ .

$\frac{3 (a^{2}) - 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.17.1.2

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$\frac{3 a^{2} + 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.17.1.3

Factoriza $3$ de $3 a^{2} + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{3 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.17.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 (a^{2} - 3^{2})}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.17.3

Factoriza.

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Paso 13.17.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{3 ((a + 3) (a - 3))}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.17.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Paso 13.18

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 3^{2})}$

Paso 13.19

Factoriza.

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Paso 13.19.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) ((a + 3) (a - 3))}$

Paso 13.19.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 13.20

Combina exponentes.

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Paso 13.20.1

Eleva $a + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{1} (a + 3) (a - 3) (a - 3)}$

Paso 13.20.2

Eleva $a + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{1} {(a + 3)}^{1} (a - 3) (a - 3)}$

Paso 13.20.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{1 + 1} (a - 3) (a - 3)}$

Paso 13.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} (a - 3) (a - 3)}$

Paso 13.20.5

Eleva $a - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} ({(a - 3)}^{1} (a - 3))}$

Paso 13.20.6

Eleva $a - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} ({(a - 3)}^{1} {(a - 3)}^{1})}$

Paso 13.20.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{1 + 1}}$

Paso 13.20.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}}$

Paso 13.21

Reduce la expresión $\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 13.21.1

Factoriza $a + 3$ de $3 (a + 3) (a - 3)$ .

$\frac{(a + 3) (3 (a - 3))}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}}$

Paso 13.21.2

Factoriza $a + 3$ de ${(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{(a + 3) (3 (a - 3))}{(a + 3) ((a + 3) {(a - 3)}^{2})}$

Paso 13.21.3

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 3) (3 (a - 3))}{(a + 3) ((a + 3) {(a - 3)}^{2})}$

Paso 13.21.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (a - 3)}{(a + 3) {(a - 3)}^{2}}$

Paso 14

Reduce la expresión $\frac{3 (a - 3)}{(a + 3) {(a - 3)}^{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $a - 3$ de $3 (a - 3)$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 3}{(a + 3) {(a - 3)}^{2}}$

Paso 14.2

Factoriza $a - 3$ de $(a + 3) {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 3}{(a - 3) ((a + 3) (a - 3))}$

Paso 14.3

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 3) \cdot 3}{(a - 3) ((a + 3) (a - 3))}$

Paso 14.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{(a + 3) (a - 3)}$